¿Qué es el fractal de Mandelbrot?

MATEMÁTICAS ¿Qué es el fractal de Mandelbrot? 22/10/2010 Consideremos la siguiente función compleja: f(z) = z2 + c, donde c es un parámetro. El conjunto de Mandelbrot se define como el conjunto de todos los puntos c del plano complejo para los cuales la siguiente sucesión: 0, f(0), f(f(0)), f(f(f(0))), ... no diverge. Por ejemplo, es inmediato ver que c=0 pertenece al conjunto. Y es fácil convencerse de que c=-1 o c=i también, pero que c=1 ya no. En principio, para cada punto c del plano complejo habría que considerar la sucesión correspondiente y calcular si la misma diverge o no. Supongamos que hacemos esto para cada punto del plano complejo y que decidimos pintar de negro los puntos que pertenecen al conjunto. ¿Qué aspecto tendría el resultado? Puede demostrarse que el conjunto de Mandelbrot es compacto (es decir, que para pintarlo no necesitaríamos una cantidad infinita de pintura -un círculo, por ejemplo, es compacto, pero el plano complejo o la recta real no lo son-) y conexo (es decir, es "de una sola pieza": podríamos pintarlo sin necesidad levantar la brocha del plano en ningún momento -por ejemplo, un circulo es conexo, pero el conjunto formado por dos círculos separados, no-). Su aspecto viene a ser algo así: Como vemos, la frontera del conjunto parece muy intrincada. De hecho, lo es: esa línea, con sus infinitos "pelillos", ramificaciones y subramificaciones, es lo que se conoce comofractal de Mandelbrot. La belleza del fractal se pone de manifiesto cuando intentamos determinar con más y más precisión la geometría de esa curva. ¿Qué ocurriría si tomáramos una lupa para examinar, cada vez con mayor detalle, la forma de sus ramificaciones? Veríamos que su forma es infinitamente complicada; tanto que, de hecho, cada vez aparecen figuras nuevas. El siguiente video lo ilustra: Los puntos que no se encuentran pintados de negro son aquellos que no pertenecen al conjunto. Los colores que se les han asignado constituyen un efecto visual para resaltar la geometría del fractal (los puntos que pertenecen al conjunto siguen siendo aquellos de color negro). Por supuesto, la imagen que muestra el final del video no significa que ésos sean los detalles más pequeños del fractal: sólo indica que, en ese momento, el programa de ordenador ha detenido sus cálculos. Sin embargo, la complejidad en los detalles jamás deja de crecer. Una infinidad de formas nuevas sigue esperando a todo aquel que tenga paciencia para calcularlas.